Fils aîné d'Antoine-Jean Bail, peintre lyonnais, Franck-Antoine, comme son père et son frère cadet Joseph, peint des scènes de genre, des natures mortes, des paysages de la région de Fontainebleau. Il réalise également des portraits pour lesquels il acquiert une solide réputation. Il étudie avec son père Antoine-Jean Bail (1830-1918) et dans l'atelier de Jean-Léon Gérôme, et commence à exposer au Salon des artistes français en 1878. Il obtient une mention honorable au Salon de 1889, une médaille de troisième classe en 1900 et une deuxième médaille en 1904. Peut-être moins connu que son frère Joseph, sa réputation n'en est pas moins bien établie parmi les peintres de genre de la fin du XIXe siècle.
A l'instar de Théodule Ribot, de sa fille Louise et de son fils Germain, autre famille de peintres réalistes du XIXe siècle, les Bail travaillent à Paris où ils ont des ateliers à l'Isle Saint Louis. Le premier, situé au 17-quai d'Anjou dans l'hôtel Lauzun, dispose d'une cuisine spacieuse qui sert de décor aux tableaux des Bail représentant des cuisiniers, des marmitons et des nettoyeurs de cuivres. Lorsqu'ils ne sont pas à Paris, les trois artistes s'installent à Bois-Le-Roi, près de Fontainebleau, où ils passent leurs étés et trouvent d'autres sujets pour leurs toiles : études de la forêt de Fontainebleau ou scènes de genre représentant des thèmes ruraux.