Fils aîné d'Igor Stravinsky et de Catherine Nosenko, Théodore Strawinsky passe sa prime enfance en Russie. Dès 1910, sa famille s'établit en Suisse romande, d'abord à Montreux puis à Morges jusqu'en 1920. Les Strawinsky résideront dès lors en France et dès 1935 à Paris. En 1927 a eu lieu à Paris sa première exposition. Il ne cessera dès lors d'exposer, seul ou en groupe et l'on retrouve ses œuvres, picturales ou monumentales dans de nombreux pays, tant en Suisse qu'en France, aux États-Unis, en Italie, en Belgique, en Hollande ou en Angleterre. Il est par exemple l'auteur de vitraux de la basilique Notre-Dame de Genève, de l'église Sainte-Thérèse, et d'une peinture murale en l'église du Sacré-Cœur, toujours à Genève. L'église du Christ-Roi à Fribourg abrite ses réalisations ainsi que l'église Notre-Dame-de-Toute-Grâce du plateau d'Assy.
Celui qu'il appellera son "maître", Georges Braque, suivra de très près le jeune homme "terriblement doué" dira-t-il à ses parents. André Derain lui apprendra "la cuisine" du métier. Sur un plan plus théorique, Théodore Strawinsky suit les cours d'André Lhote de 1930 à 1932. Picasso, lui, se borne à lui dire : « Va au Louvre et copie, copie » et « N'oublie jamais que le blanc est le maître de la couleur ». Cela, Théodore ne l'oubliera jamais. Apatride après la Première Guerre mondiale, Théodore Strawinsky obtient la nationalité suisse (bourgeois de Genève) le 10 avril 1956.
En 1976, Théodore Strawinsky reçoit la médaille d'argent Arts-Sciences-Lettres décernée par la société académique Arts-Sciences-Lettres et en 1977 est promu par le Pape Paul VI commandeur de l'ordre de Saint-Grégoire-le-Grand pour "services rendus à l'église par son art".
Le peintre décède le 16 mai 1989 à Genève. Il repose au cimetière russe de Sainte-Geneviève-des-Bois, près de Paris,