Dugourc est le fils d’un officier de la Maison du duc d’Orléans. Il est élève au Collège de Juilly, et élève de l’abbé Barthélemy. En 1764, il accompagne à Rome le comte de Cany, nommé ambassadeur extraordinaire, et apprend à dessiner d’après l’antique. De retour en France, il devient dessinateur à Valenciennes pour Gribeauval, le réformateur de l’artillerie.
Installé ensuite à Paris, il sert une clientèle privée avant de s’attacher au comte d’Artois. À Bagatelle (1777-1778), il travaille avec l’architecte François-Joseph Bélanger, le sculpteur Nicolas Lhuillier, les peintres Dusseaux et Antoine-François callet. Il contribue à diffuser dans les arts du règne de Louis XVI, les arabesques et le goût étrusque : figures de Grâces, de femmes ailées jouant de la lyre, serpents, sphynx, rinceaux, cornes d’abondance, dessins de figures en camaïeux, médaillons, etc.
Un fantastique bestiaire naît sous son crayon, qui servira de modèle pour les grands ciseleurs de l’époque, Gouthière et Thomire. L’Antiquité est une source d’inspiration évidente pour les meubles, la décoration des salons, mais aussi la Chine et la Turquie pour la touche d’exotisme. Toutes les époques trouvent grâce à ses yeux, de l’Égypte au gothique…
En 1780, Dugourc est nommé dessinateur du cabinet de Monsieur, comte de Provence, et participe au décor du château de Brunoy. Il fournit aussi des décors pour la Folie Saint-James, pour l’hôtel du duc d’Aumont qui le fait nommer dessinateur du Garde-Meuble, pour la duchesse de Mazarin, le roi de Suède, catherine II, Lord Shelburne, des modèles de soierie pour Pernon, de meubles pour Georges Jacob et Guillaume Beneman. Une partie de ses dessins destinés à la maison de soierie Pernon est actuellement conservée par Tassinari et Chatel.
A La révolution, Dugourc travaille pour une manufacture de papiers-peints, invente des modèles pour des cartes à jouer ou des en-têtes de papier à lettres. En 1800, il s’installe en Espagne, travaillant pour une des résidences de la famille royale, la casa del Labrador à Aranjuez, et pour les duchesses d’Albe et d’Osuna. Dugourc revient en France en 1814 ; la montée sur le trône de son ancien mentor lui fait retrouver son titre de dessinateur du Garde-Meuble jusqu’à sa mort, en 1825.
En 1787 un nouveau mobilier pour la chambre de la Reine Marie-Antoinette au Petit Trianon fut commandé aux meilleurs artisans. Outre le menuisier Jacob, les sculpteurs sur bois Jean-Baptiste-Simon Rode, pour les sièges, et Pierre-Claude Triquet, pour le lit, furent sollicités. Jean-Baptiste Chaillot de Prusse effectua les peintures au naturel, et Marie-Olivier Defarges, de Lyon, créa le tissu brodé, livré ensuite par le marchand-mercier Hébert. Le dessin de départ fut probablement réalisé par Jean-Démosthène Dugourc qui créa un décor particulièrement original, en accord avec le cadre champêtre et bucolique du lieu.